18 results
Search Results
Now showing 1 - 10 of 18
Research Project Lineer Olmaya Üçlü Schrödinger Denklemi için Yapı Koruyan Sayısal Yöntemler(2016) Aydın, Ayhan; Ertuğ, Sevim-Master Thesis Rosenau-Korteweg-de Vries regularized long wave denklemi için doğrusal kapalı yöntemler(2015) Al-omaırı, Salım; Aydın, AyhanBu tez çalışmasında, genel Rosenau--Korteweg de Vries (Rosenau--KdV) ile Rosenau-- Regülerize Uzun Dalga (Rosenau--Regularized Long Wave)(rosenau-RLW) denklemlerini birleştiren Rosanau-Korteweg de--Veries Regülerize Uzun Dalga (Rosenau--KdV--RLW) denkleminin sayısal çözümü ele alınmıştır. Denklemin kütle ve enerji olarak adlandırılan iki tane korunum özelliği ispatlanmıştır. Amaç bu özellikleri tam olarak koruyan yada küçük bir hata ile koruyan sayısal yöntemler geliştirmektir. Rosenau--KdV--RLW denkleminin başlangıç--sınır değer problemi için iki tane sayısal yöntem önerilmiştir. Yöntemlerden bir tanesi korunum özelliği olan bir yöntem olup diğer yöntem korunum özelliği olmayan bir yöntemdir. Korunum özelliği olan yöntemin denklemin enerjisini koruduğu ispatlanmıştır. Ayrıca yöntem ikinci mertebeden doğruluğa sahip ve koşulsuz kararlıdır. İkinci yöntem korunum özelliği olmayan bir yöntemdir. Bu yöntem birinci mertebeden doğruluğa sahip olup koşullu kararlıdır. Sayısal sonuçlar, her iki yöntemin de uzun zaman aralığında denklemin soliter dalgasını iyi simule ettiğini göstermiştir. Ayrıca, sayısal sonuçlar korunum özelliği olan yöntemin, denklemin enerjisini koruduğunu da doğrulamıştır.Master Thesis Üçlü Lineer Olmayan Schrödinger Denklemi için Yapı Koruyan Sayısal Yöntemler(2016) Ertuğ, Sevim; Aydın, AyhanBirleşik N denklemli lineer olmayan Schrödinger (N--CNLS) denklemi fizik, optik, kuantum mekaniği ve akışkanlar dinamiği gibi birçok alanda sıklıkla kullanılan önemli matematiksel modellerden biridir. Son yıllarda lineer olmayan Schrödinger (NLS) denklemi ve ikili lineer olmayan Schrödinger (2-CNLS) denklemi için yapılmış çok sayıda çalışma varken, üçlü lineer olmayan Schrödinger (3-CNLS) denklem sistemi için yapılan sayısal çalışma sayısı oldukça azdır. Bu denklem sistemlerinin kütle korunumu ve enerji korunumu gibi bazı fiziksel (ya da geometrik) korunum özellikleri vardir. Standard sayısal yöntemler bu tür korunumları korumamakta ve korunum sayısal çözümde bozulmaktadır. Son yıllarda bu tip özellikleri koruyan sayısal yöntemler geliştirme çalışmalarına ilgi araştırmacılar arasında hızla artmaktadır. Bu tezin amacı, üçlü lineer olmayan Schrödinger (3-CNLS) denkleminin bir veya birden fazla fiziksel (ya da geometrik) özelliğini koruyan sayısal yöntemler geliştirmektir. 3-CNLS denkleminin enerji ve kütle olmak üzere iki korunum özelliği elde edilmiştir. Daha sonra, periyodik ve homojen sınır şartları gibi uygun sınır şartları altında, bu korunumların ayrık hallerini koruyan üç tane sayısal yöntem geliştirilmiştir. İlk olarak, Ortalama Vektör Alanı (AVF) olarak bilinen bir yöntem kullanılarak, enerji koruyan sayısal yöntem tasarlanmıştır. Daha sonra denklemin kütlesini koruyan iki adımlı (ya da üç basamaklı) bir sayısal yöntem tasarlanmıştır. Son olarak, denklemin hem kütle hem de enerjisini koruyan bir adımlı (ya da iki basamaklı) sayısal yöntem tasarlanmıştır. Tasarlanan sayısal yöntemlerin doğrusal kararlılık, doğruluk ve yakınsaklık analizleri yapılmıştır. Enerji ve kütle koruyan sayısal yöntemlerin dağılım özellikleri incelenmiştir. Sayısal yöntemlerin etkinliğini ve yapı koruma özelliklerini doğrulamak için bir çok sayısal uygulamalar yapılmıştır. Sayısal sonuçlar uzun zaman aralığında her üç sayısal yöntemin de denklemin periyodik, bir soliton ve çarpışan soliton çözümlerinin de çok iyi sonuçlar verdiğini göstermektedir.Master Thesis Doğrusal Olmayan Black-scholes Denklemi için Üstel Sonlu Fark Yöntemi(2017) Omar, Fathıa; Aksoy, Ümit; Aydın, AyhanBu tezde, likit olmayan bir piyasada ortaya çıkan doğrusal olmayan Black-Scholes denklemi için üstel sonlu fark yöntemi çalışılmıştır. 1. Bölüm opsiyon fiyatlandırması problemi terminolojisi, temel tanımlar ve literatür taramasına ayrılmıştır. 2. Bölümde Black-Scholes modeli ve Black-Scholes denklemi için sonlu fark yöntemleri gözden geçirilmiştir. 3. Bölümde doğrusal olmayan Black-Scholes denklemi için açık sonlu fark yöntemi, monotonluk, kararlılık ve tutarlılık sonuçları ile birlikte çalışılmıştır. 4. Bölümde doğrusal ve doğrusal olmayan Black-Scholes denklemleri için üstel sonlu fark yöntemi uygulanmıştır. Ayrıca, yöntemin tutarlılığı ve yakınsaklığı araştırılmıştır. Teorik sonuçları doğrulamak için sayısal örnekler verilmiştir. Sayısal sonuçlar, üstel sonlu fark yönteminin açık sonlu fark yönteminden daha iyi performans sergilediğini göstermiştir. 5. Bölüm sonuç kısmına ayrılmıştır.Master Thesis Kesirli Lineer Olmayan Schrödinger Denklemi için Yapı Koruyan Sayısal Bir Yöntem(2025) Koç, Sıla Selenay; Aydın, AyhanDoğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler, matematiksel fizikte su dalgalarının yayılımı, katı maddelerin dinamiği ve biyomoleküler sistemlerin davranışı gibi karmaşık olayların modellenmesinde kritik bir rol oynamaktadır. Bu tür denklemlere klasik bir örnek, optik fiberlerde tekil dalga paketlerinin evrimini tanımlayan doğrusal olmayan kübik Schrödinger (NLS) denklemidir: iU_t + k U_xx + β |U|^2 U = 0 Burada a < x < b, 0 < t ≤ T olup β sabit bir parametreyi, U(x,t) karmaşık değerli bir fonksiyonu temsil etmektedir. NLS denklemi doğrusal olmayan bir yapıya sahip olduğundan, genel anlamda analitik çözümü mümkün değildir. Ancak belirli koşullar altında periyodik ve soliter dalga çözümler elde edilebilmektedir. Bu sebeple, modelin dinamiklerini anlamak adına güvenilir sayısal simülasyonlar büyük önem taşır. Ancak her sayısal yöntem bu amaç için uygun değildir. Literatürde kullanılan dördüncü mertebeden açık Runge–Kutta yöntemi gibi yöntemler, sistemin yapısal özelliklerini koruyamaz ve bu da kararsızlık veya patlamalara yol açabilir. Oysa yapıyı koruyan, yani sistemin kütle ve enerji gibi korunmalı büyüklüklerini sayısal olarak da koruyabilen yöntemlerin, daha kararlı ve fiziksel olarak anlamlı sonuçlar verdiği bilinir. Bu çalışmada, doğrusal olmayan Schrödinger (NLS) denklemi için yapısal özellikleri koruyan yeni bir sayısal şema önerilmektedir. Sayısal çözümün varlığı teorik olarak ortaya konmuş ve yöntemin tutarlılığı ve kararlılığı ayrıntılı biçimde analiz edilmiştir. Ayrıca, geliştirilen yöntemin kütle ve enerji gibi fiziksel büyüklüklerin ayrık düzeyde korunmasına olanak tanıyıp tanımadığı da değerlendirilmiştir. Klasik NLS modeline ek olarak, uzaysal türevleri kesirli mertebeden olan doğrusal olmayan kesirli Schrödinger (FNLS) denklemi de ele alınmıştır: i ∂u(x,t)/∂t - (−Δ)^{α/2} u(x,t) + β |u(x,t)|^2 u(x,t) = 0 Bu denklem için kütle koruyan bir ayrık şeması tartışılmıştır. Hem klasik hem de kesirli modeller için önerilen yöntemlerin doğruluğu ve etkinliği çeşitli sayısal deneyler ile gösterilmiştir.Article An Unconventional Splitting for Korteweg de Vries–Burgers Equation(EUROPEAN JOURNAL OF PURE AND APPLIED MATHEMATICS, 2015) Aydın, AyhanNumerical solutions of the Korteweg de Vries–Burgers (KdVB) equation based on splitting is studied. We put a real parameter into a KdVB equation and split the equation into two parts. The real parameter that is inserted into the KdVB equation enables us to play with the splitted parts. The real parameter enables to write the each splitted equation as close to the Korteweg de Vries (KdV) equation as we wish and as far from the Burgers equation as we wish or vice a versa. Then we solve the splitted parts numerically and compose the solutions to obtained the integrator for the KdVB equation. Finally we present some numerical experiments for the solution of the KdV, Burger’s and KdVB equations. The numerical experiments shows that the new splitting gives feasible and valid results.Article Symplectic and multi-symplectic methods for coupled nonlinear Schrödinger equations with periodic solutions(Computer Physics Communications, 2007) Aydın, Ayhan; Karasözen, BülentWe consider for the integration of coupled nonlinear Schrödinger equations with periodic plane wave solutions a splitting method from the class of symplectic integrators and the multi-symplectic six-point scheme which is equivalent to the Preissman scheme. The numerical experiments show that both methods preserve very well the mass, energy and momentum in long-time evolution. The local errors in the energy are computed according to the discretizations in time and space for both methods. Due to its local nature, the multi-symplectic six-point scheme preserves the local invariants more accurately than the symplectic splitting method, but the global errors for conservation laws are almost the same.Master Thesis Hamilton Sistemler için Ortalama Vektör Alanı Metodu(2021) Sabawe, Bahaa Ahmed Khalaf; Aydın, AyhanBu tez çalışmasında Hamilton tipindeki başlangıç değer problemlerinin sayısal çözümü için enerji koruyan yöntemler ortaya konulmuş ve analiz edilmiştir. Özel olarak, enerji koruyan yöntemler olarak bilinen ortalama vektör alanı (AVF) ve bölmeli AVF (PAVF) yöntemleri kullanılmıştır. Bunlara ek olarak enerji koruyan birleşim (PAVF-C) yöntemi ve toplam (PAVF-P) yöntemleri kullanılmıştır. Bu tez çalışmasında bahsi geçen enerji koruyan yöntemlerin performanlarını ölçmek için Zakharov sistemi ele alınmıştır. Bu tez ile ilk olarak Zakharov sistemi için enerji koruyan AVF, PAVF, PAVF-C ve PAVF-P yöntemleri oluşturulmuştur. Zakharov sisteminin sayısal çözümünde linear kapalı yöntemler oluşları sebebiyle PAVF ve PAVF-C yöntemlerinin, AVF yöntemine göre kayda değer daha az sürede souç verdiği gösterilmiştir. Ayrıca, PAVF metodunun AVF metodunun aksine Zakharov sisteminin kütle korunumunu da koruduğu gösterilmiştir.Article Lobatto Iiia–iiib Discretization of the Strongly Coupled Nonlinear Schrödinger Equation(Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009) Aydın, Ayhan; Karasözen, BülentIn this paper, we construct a second order semi-explicit multi-symplectic integrator for the strongly coupled nonlinear Schrödinger equation based on the two-stage Lobatto IIIA–IIIB partitioned Runge–Kutta method. Numerical results for different solitary wave solutions including elastic and inelastic collisions, fusion of two solitons and with periodic solutions confirm the excellent long time behavior of the multi-symplectic integrator by preserving global energy, momentum and mass.Publication Semi-Explicit Multi-Symplectic Integration of Nonlinear Schrodinger Equation(2015) Aydın, AyhanIn this paper we apply Lobatto IIIA-IIIB type multi-symplectic discretization in space and time to the nonlinear Schrödinger equation. The resulting scheme is semi-explicit in time and therefore more efficient than implicit multisymplectic schemes. Numerical results confirm excellent long time conservation of the local and global conserved quantities like the energy, momentum and norm.
