1 results
Search Results
Now showing 1 - 1 of 1
Master Thesis Kesirli Lineer Olmayan Schrödinger Denklemi için Yapı Koruyan Sayısal Bir Yöntem(2025) Koç, Sıla Selenay; Aydın, AyhanDoğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler, matematiksel fizikte su dalgalarının yayılımı, katı maddelerin dinamiği ve biyomoleküler sistemlerin davranışı gibi karmaşık olayların modellenmesinde kritik bir rol oynamaktadır. Bu tür denklemlere klasik bir örnek, optik fiberlerde tekil dalga paketlerinin evrimini tanımlayan doğrusal olmayan kübik Schrödinger (NLS) denklemidir: iU_t + k U_xx + β |U|^2 U = 0 Burada a < x < b, 0 < t ≤ T olup β sabit bir parametreyi, U(x,t) karmaşık değerli bir fonksiyonu temsil etmektedir. NLS denklemi doğrusal olmayan bir yapıya sahip olduğundan, genel anlamda analitik çözümü mümkün değildir. Ancak belirli koşullar altında periyodik ve soliter dalga çözümler elde edilebilmektedir. Bu sebeple, modelin dinamiklerini anlamak adına güvenilir sayısal simülasyonlar büyük önem taşır. Ancak her sayısal yöntem bu amaç için uygun değildir. Literatürde kullanılan dördüncü mertebeden açık Runge–Kutta yöntemi gibi yöntemler, sistemin yapısal özelliklerini koruyamaz ve bu da kararsızlık veya patlamalara yol açabilir. Oysa yapıyı koruyan, yani sistemin kütle ve enerji gibi korunmalı büyüklüklerini sayısal olarak da koruyabilen yöntemlerin, daha kararlı ve fiziksel olarak anlamlı sonuçlar verdiği bilinir. Bu çalışmada, doğrusal olmayan Schrödinger (NLS) denklemi için yapısal özellikleri koruyan yeni bir sayısal şema önerilmektedir. Sayısal çözümün varlığı teorik olarak ortaya konmuş ve yöntemin tutarlılığı ve kararlılığı ayrıntılı biçimde analiz edilmiştir. Ayrıca, geliştirilen yöntemin kütle ve enerji gibi fiziksel büyüklüklerin ayrık düzeyde korunmasına olanak tanıyıp tanımadığı da değerlendirilmiştir. Klasik NLS modeline ek olarak, uzaysal türevleri kesirli mertebeden olan doğrusal olmayan kesirli Schrödinger (FNLS) denklemi de ele alınmıştır: i ∂u(x,t)/∂t - (−Δ)^{α/2} u(x,t) + β |u(x,t)|^2 u(x,t) = 0 Bu denklem için kütle koruyan bir ayrık şeması tartışılmıştır. Hem klasik hem de kesirli modeller için önerilen yöntemlerin doğruluğu ve etkinliği çeşitli sayısal deneyler ile gösterilmiştir.
