Kesirli Lineer Olmayan Schrödinger Denklemi için Yapı Koruyan Sayısal Bir Yöntem

Abstract

Doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler, matematiksel fizikte su dalgalarının yayılımı, katı maddelerin dinamiği ve biyomoleküler sistemlerin davranışı gibi karmaşık olayların modellenmesinde kritik bir rol oynamaktadır. Bu tür denklemlere klasik bir örnek, optik fiberlerde tekil dalga paketlerinin evrimini tanımlayan doğrusal olmayan kübik Schrödinger (NLS) denklemidir: iU_t + k U_xx + β |U|^2 U = 0 Burada a < x < b, 0 < t ≤ T olup β sabit bir parametreyi, U(x,t) karmaşık değerli bir fonksiyonu temsil etmektedir. NLS denklemi doğrusal olmayan bir yapıya sahip olduğundan, genel anlamda analitik çözümü mümkün değildir. Ancak belirli koşullar altında periyodik ve soliter dalga çözümler elde edilebilmektedir. Bu sebeple, modelin dinamiklerini anlamak adına güvenilir sayısal simülasyonlar büyük önem taşır. Ancak her sayısal yöntem bu amaç için uygun değildir. Literatürde kullanılan dördüncü mertebeden açık Runge–Kutta yöntemi gibi yöntemler, sistemin yapısal özelliklerini koruyamaz ve bu da kararsızlık veya patlamalara yol açabilir. Oysa yapıyı koruyan, yani sistemin kütle ve enerji gibi korunmalı büyüklüklerini sayısal olarak da koruyabilen yöntemlerin, daha kararlı ve fiziksel olarak anlamlı sonuçlar verdiği bilinir. Bu çalışmada, doğrusal olmayan Schrödinger (NLS) denklemi için yapısal özellikleri koruyan yeni bir sayısal şema önerilmektedir. Sayısal çözümün varlığı teorik olarak ortaya konmuş ve yöntemin tutarlılığı ve kararlılığı ayrıntılı biçimde analiz edilmiştir. Ayrıca, geliştirilen yöntemin kütle ve enerji gibi fiziksel büyüklüklerin ayrık düzeyde korunmasına olanak tanıyıp tanımadığı da değerlendirilmiştir. Klasik NLS modeline ek olarak, uzaysal türevleri kesirli mertebeden olan doğrusal olmayan kesirli Schrödinger (FNLS) denklemi de ele alınmıştır: i ∂u(x,t)/∂t - (−Δ)^{α/2} u(x,t) + β |u(x,t)|^2 u(x,t) = 0 Bu denklem için kütle koruyan bir ayrık şeması tartışılmıştır. Hem klasik hem de kesirli modeller için önerilen yöntemlerin doğruluğu ve etkinliği çeşitli sayısal deneyler ile gösterilmiştir.Nonlinear partial differential equations play a critical role in modeling various complex phenomena in mathematical physics, such as the propagation of water waves, the dynamics of solid media, and the behavior of biomolecular systems. A classical example of such equations is the cubic nonlinear Schrödinger (NLS) equation, which describes the evolution of solitary wave packets in optical fibers: iU_t + k U_xx + β |U|^2 U = 0 where β is a constant parameter, a < x < b, 0 < t ≤ T, and U(x,t) is a complex-valued function. Due to its nonlinear nature, the NLS equation generally does not admit closed-form analytical solutions. Nevertheless, under certain conditions, it admits periodic and solitary wave solutions. Consequently, reliable numerical simulations are essential for understanding the dynamics governed by the model. However, not all numerical methods are suitable for this purpose. Widely used schemes in the literature, such as the classical fourth-order explicit Runge–Kutta method, fail to preserve the intrinsic structural properties of the system, often leading to instability or artificial numerical blow-up. In contrast, structure-preserving methods that conserve key physical invariants such as mass and energy are known to yield more stable and physically meaningful results. In this thesis, a new structure-preserving numerical scheme is proposed for the nonlinear Schrödinger (NLS) equation. The existence of the numerical solution is theoretically justified, and the consistency and stability of the scheme are rigorously analyzed. Furthermore, the scheme's ability to preserve discrete analogues of conserved quantities such as mass and energy is evaluated. In addition to the classical NLS model, we also consider the fractional nonlinear Schrödinger (FNLS) equation: i ∂u(x,t)/∂t - (−Δ)^{α/2} u(x,t) + β |u(x,t)|^2 u(x,t) = 0 which involves spatial derivatives of fractional order. For this equation, a mass-preserving discretization is discussed. The accuracy and efficiency of the proposed methods for both the classical and fractional models are demonstrated through a series of numerical experiments.