14 results
Search Results
Now showing 1 - 10 of 14
Research Project Lineer Olmaya Üçlü Schrödinger Denklemi için Yapı Koruyan Sayısal Yöntemler(2016) Aydın, Ayhan; Ertuğ, Sevim-Master Thesis Kesirli Lineer Olmayan Schrödinger Denklemi için Yapı Koruyan Sayısal Bir Yöntem(2025) Koç, Sıla Selenay; Aydın, AyhanDoğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler, matematiksel fizikte su dalgalarının yayılımı, katı maddelerin dinamiği ve biyomoleküler sistemlerin davranışı gibi karmaşık olayların modellenmesinde kritik bir rol oynamaktadır. Bu tür denklemlere klasik bir örnek, optik fiberlerde tekil dalga paketlerinin evrimini tanımlayan doğrusal olmayan kübik Schrödinger (NLS) denklemidir: iU_t + k U_xx + β |U|^2 U = 0 Burada a < x < b, 0 < t ≤ T olup β sabit bir parametreyi, U(x,t) karmaşık değerli bir fonksiyonu temsil etmektedir. NLS denklemi doğrusal olmayan bir yapıya sahip olduğundan, genel anlamda analitik çözümü mümkün değildir. Ancak belirli koşullar altında periyodik ve soliter dalga çözümler elde edilebilmektedir. Bu sebeple, modelin dinamiklerini anlamak adına güvenilir sayısal simülasyonlar büyük önem taşır. Ancak her sayısal yöntem bu amaç için uygun değildir. Literatürde kullanılan dördüncü mertebeden açık Runge–Kutta yöntemi gibi yöntemler, sistemin yapısal özelliklerini koruyamaz ve bu da kararsızlık veya patlamalara yol açabilir. Oysa yapıyı koruyan, yani sistemin kütle ve enerji gibi korunmalı büyüklüklerini sayısal olarak da koruyabilen yöntemlerin, daha kararlı ve fiziksel olarak anlamlı sonuçlar verdiği bilinir. Bu çalışmada, doğrusal olmayan Schrödinger (NLS) denklemi için yapısal özellikleri koruyan yeni bir sayısal şema önerilmektedir. Sayısal çözümün varlığı teorik olarak ortaya konmuş ve yöntemin tutarlılığı ve kararlılığı ayrıntılı biçimde analiz edilmiştir. Ayrıca, geliştirilen yöntemin kütle ve enerji gibi fiziksel büyüklüklerin ayrık düzeyde korunmasına olanak tanıyıp tanımadığı da değerlendirilmiştir. Klasik NLS modeline ek olarak, uzaysal türevleri kesirli mertebeden olan doğrusal olmayan kesirli Schrödinger (FNLS) denklemi de ele alınmıştır: i ∂u(x,t)/∂t - (−Δ)^{α/2} u(x,t) + β |u(x,t)|^2 u(x,t) = 0 Bu denklem için kütle koruyan bir ayrık şeması tartışılmıştır. Hem klasik hem de kesirli modeller için önerilen yöntemlerin doğruluğu ve etkinliği çeşitli sayısal deneyler ile gösterilmiştir.Article Operator Splitting of the Kdv-Burgers Type Equation With Fast and Slow Dynamics(2015) Aydın, Ayhan; Karasözen, BülentThe Korteweg de Vries-Burgers (KdV-Burgers) type equation arising from the discretiza tion of the viscous Burgers equation with fast dispersion and slow diffusion is solved using operator splitting. The dispersive and diffusive parts are discretized in space by second order conservative finite differences. The resulting system of ordinary differential equations are composed using the time reversible Strang splitting. The numerical results reveal that the periodicity of the solutions and the invariants of the KdV-Burgers equation are well preserved.Article Lie-Poisson Integrators for a Rigid Satellite on a Circular Orbit(2011) Aydın, AyhanIn the last two decades, many structure preserving numerical methods like Poisson integrators have been investigated in numerical studies. Since the structure matrices are different in many Poisson systems, no integrator is known yet to preserve the Poisson structure of any Poisson system. In the present paper, we propose Lie– Poisson integrators for Lie–Poisson systems whose structure matrix is different from the ones studied before. In particular, explicit Lie-Poisson integrators for the equations of rotational motion of a rigid body (the satellite) on a circular orbit around a fixed gravitational center have been constructed based on the splitting. The splitted parts have been composed by a first, a second and a third order compositions. It has been shown that the proposed schemes preserve the quadratic invariants of the equation. Numerical results reveal the preservation of the energy and agree with the theoretical treatment that the invariants lie on the sphere in long–term with different orders of accuracy.Article Lobatto Iiia–iiib Discretization of the Strongly Coupled Nonlinear Schrödinger Equation(Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009) Aydın, Ayhan; Karasözen, BülentIn this paper, we construct a second order semi-explicit multi-symplectic integrator for the strongly coupled nonlinear Schrödinger equation based on the two-stage Lobatto IIIA–IIIB partitioned Runge–Kutta method. Numerical results for different solitary wave solutions including elastic and inelastic collisions, fusion of two solitons and with periodic solutions confirm the excellent long time behavior of the multi-symplectic integrator by preserving global energy, momentum and mass.Publication Semi-Explicit Multi-Symplectic Integration of Nonlinear Schrodinger Equation(2015) Aydın, AyhanIn this paper we apply Lobatto IIIA-IIIB type multi-symplectic discretization in space and time to the nonlinear Schrödinger equation. The resulting scheme is semi-explicit in time and therefore more efficient than implicit multisymplectic schemes. Numerical results confirm excellent long time conservation of the local and global conserved quantities like the energy, momentum and norm.Doctoral Thesis Çoklu Simplektik KTDler için Yapı Koruyan Yeni Bir Sınıf Algoritma(2025) Mohammed, Taha Yousif Mohammed; Aydın, AyhanBu tezde, genel c¸oklu-simplektik Hamilton kısmi diferansiyel denklemlerinin sayısal c¸oz¨ um¨ u ic¸in yerel enerji koruyan bir algoritma, yerel momentum koruyan bir algo- ¨ ritma ve global enerji koruyan bir algoritma olmak uzere c¸es¸itli yeni sistematik al- ¨ goritmalar gelis¸tirilmis¸tir. Tum bu yapı koruyan algoritmalar ¨ ozg ¨ und ¨ ur ve literat ¨ urde ¨ daha once hic¸ c¸alıs¸ılmamıs¸tır. ¨ Yerel yapı-koruyan algoritmalar, Bol¨ uml ¨ u Ortalama Vekt ¨ or Alanı (PAVF) y ¨ onteminin, ¨ mekansal ve zamansal ayrıklas¸tırma ic¸in ort ¨ uk orta nokta kuralıyla birles¸tirilmesiyle ¨ olus¸turulmus¸tur. Yerel yapı-koruma algoritmalarının, c¸oklu-simplektik bir kısmi diferansiyel denklemin ayrık yerel enerjisini ve ayrık yerel momentumunu tam olarak korudugu kanıtlanmıs¸tır. Ayrıca, yerel yapı-koruyan algoritmaların periyodik sınır ˘ kos¸ulları altında ayrık global enerji korunumu-na ve ayrık global momentum korunumuna sahip oldugu da kanıtlanmıs¸tır. ˘ Global enerji-koruyan algoritma, genel c¸oklu-simplektik Hamilton kısmi diferansiyel denklemlerinin uzaysal ve zamansal turevlerinin sırasıyla antisimetrik bir diferansiyel ¨ matris ve PAVF yontemi ile ayrıklas¸tırılmasıyla gelis¸tirilmis¸tir. Ayrıklas¸tırmanın, ¨ c¸oklu-simplektik Hamilton kısmi diferansiyel denklemlerinin ayrık global enerjisini tam olarak korudugu kanıtlanmıs¸tır. ˘ Tum bu yeni algoritmalar, do ¨ grusal olmayan Dirac denklemine ve do ˘ grusal olmayan ˘ kompleks modifiye Korteweg-de Vries denklemine bas¸arıyla uygulanmıs¸tır. Onerilen ¨ sayısal yontemlerin korunum ¨ ozelliklerini g ¨ ostermek ic¸in birc¸ok sayısal deney sunulm- ¨ us¸tur. C¸ oklu-simplektik formulasyona dayalı yeni yerel yapı-koruyan algoritmalar ek olarak, Schrodinger-Boussinesq denkleminin sonlu boyutlu Hamilton form ¨ ulasyonuna dayalı ¨ sayısal c¸oz¨ um¨ u ic¸in bazı yeni yapı-koruyan s¸ema-lar da ¨ onerilmis¸tir. Sayısal sonuc¸lar, bu yeni yontemlerin Schr ¨ odinger-Boussinesq denkleminin dikkat c¸ekici ¨ ozel-liklerini ¨ yakaladıgını g ˘ ostermis¸tir. ¨ C¸ oklu simplektik formulasyona dayalı yeni yerel yapı-koruyan algoritmalar ek olarak, ¨ sonlu boyutlu Hamilton formulasyonuna dayalı tek boyutlu ve iki boyutlu Schr ¨ odinger- ¨ Boussinesq denkleminin sayısal c¸oz¨ um¨ u ic¸in bazı yeni yapı koruma s¸ema-ları da ¨ onerilmis¸tir. Sayısal sonuc¸lar, bu yeni y ¨ ontemlerin Schr ¨ odinger-Boussinesq denklem- ¨ inin enerji ve kutle korunumu gibi bazı ¨ ozelliklerini yakaladı ¨ gını g ˘ ostermis¸tir. ¨ Anahtar Kelimeler: C¸ oklu-Simplektik Kısmi Turevli Diferansiyel Denklemler, Lokal ¨ Yapı-Koruyan yontemler, Hamilton sistem, ¨ ˙Ikili Schrodinger-Boussinesq Denklemi, ¨ Modifiye Kompleks Korteweg-de Vries Denklemi, Dogrusal Olmayan Dirac Den- ˘ klemiArticle Citation - WoS: 6Citation - Scopus: 6Exact and Nonstandard Finite Difference Schemes for the Burgers Equation B(2, 2)(Tubitak Scientific & Technological Research Council Turkey, 2021) Köroğlu, Canan; Aydın, AyhanIn this paper, we consider the Burgers equation B(2, 2) . Exact and nonstandard finite difference schemes(NSFD) for the Burgers equation B(2, 2) are designed. First, two exact finite difference schemes for the Burgers equationB(2, 2) are proposed using traveling wave solution. Then, two NSFD schemes are represented for this equation. Thesetwo NSFD schemes are compared with a standard finite difference (SFD) scheme. Numerical results show that the NSFDschemes are accurate and efficient in the numerical simulation of the kink-wave solution of the B(2, 2) equation. We seethat although the SFD scheme yields numerical instability for large step sizes, NSFD schemes provide reliable results forlong time integration. Local truncation errors show that the NSFD schemes are consistent with the B(2, 2) equation.Book Part Multisymplectic Integrators for Coupled Nonlinear Partial Differential Equations(Nova Science Publishers, Inc., 2012) Karas̈ozen,B.; Aydın, Ayhan; Aydin,A.; Aydın, Ayhan; Mathematics; MathematicsThe numerical solution of nonlinear partial differential equations (PDEs) using symplectic geometric integrators has been the subject of many studies in recent years. Many nonlinear partial differential equations can be formulated as an infinite dimensional Hamiltonian system. After semi-discretization in the space variable, a system of Hamiltonian ordinary differential equations (ODEs) is obtained, for which various symplectic integrators can be applied. Numerical results show that symplectic schemes have superior performance, especially in long time simulations. The concept of multisymplectic PDEs and multisymplectic schemes can be viewed as the generalization of symplectic schemes. In the last decade, many multisymplectic methods have been proposed and applied to nonlinear PDEs, like to nonlinear wave equation, nonlinear Schr̈odinger equation, Korteweg de Vries equation, Dirac equation, Maxwell equation and sine-Gordon equation. In this review article, recent results of multisymplectic integration on the coupled nonlinear PDEs, the coupled nonlinear Schr̈odinger equation, the modified complex Korteweg de Vries equation and the Zakharov system will be given. The numerical results are discussed with respect to the stability of the schemes, accuracy of the solutions, conservation of the energy and momentum, preservation of dispersion relations. © 2012 Nova Science Publishers, Inc. All rights reserved.Article Symplectic and multi-symplectic methods for coupled nonlinear Schrödinger equations with periodic solutions(Computer Physics Communications, 2007) Aydın, Ayhan; Karasözen, BülentWe consider for the integration of coupled nonlinear Schrödinger equations with periodic plane wave solutions a splitting method from the class of symplectic integrators and the multi-symplectic six-point scheme which is equivalent to the Preissman scheme. The numerical experiments show that both methods preserve very well the mass, energy and momentum in long-time evolution. The local errors in the energy are computed according to the discretizations in time and space for both methods. Due to its local nature, the multi-symplectic six-point scheme preserves the local invariants more accurately than the symplectic splitting method, but the global errors for conservation laws are almost the same.
