Doğuran Çekirdekli Hilbert Uzayları Üzerine Bir İnceleme

Abstract

Bu tezin içeriği, Matematik, İstatistik ve makine öğrenmesi gibi pek çok alanda önemli bir araç olarak kullanılan doğuran çekirdekli Hilbert uzayları ile ilgili genel bilgilerden oluşmaktadır. Bu çalışmada ilk olarak doğuran çekirdekli Hilbert uzayı (kısaca DÇHU) ve doğuran çekirdek tanımı verildi ve birkaç DÇHU örneğinden bahsedildi. Doğuran çekirdeğin temel karakteristik özelliğine, doğuran çekirdekli Hilbert uzayları teorisinin klasik teoremlerinden biri olan Moore-Aronszajn Teoremi'nin ifadesine ve kısaca ispatına değinildi. Sonrasında bir çekirdek fonksiyonu verildiğinde nasıl doğuran çekirdekli bir Hilbert uzayı inşa edildiğine bakıldı. Son olarak, doğuran çekirdekli Hilbert uzaylarının bazı uygulamaları tartışıldı. Bunlardan ilki interpolasyon ve yaklaşım teorisi üzerine diğeri ise İstatistik ve makine öğrenmesi üzerine uygulamalarıdır.

The content of this thesis consists of general information about reproducing kernel Hilbert spaces, which are widely used in various fields such as Mathematics, Statistics, and machine learning. In this study, we first introduced the concept of a reproducing kernel Hilbert space (shortly RKHS) and provided the definition of a reproducing kernel. We also discussed the characteristic property of the reproducing kernels, gave the statement and a brief proof of the Moore-Aronszajn Theorem, which is one of the classical theorems in the theory of reproducing kernel Hilbert spaces. Next, we explored how to construct a reproducing kernel Hilbert space from a given kernel function in some concrete cases. Finally, we briefly discussed several applications of reproducing kernel Hilbert spaces, including their use in interpolation-approximation theory, statistics, and machine learning.