Çoklu Simplektik KTDler için Yapı Koruyan Yeni Bir Sınıf Algoritma

Abstract

Bu tezde, genel c¸oklu-simplektik Hamilton kısmi diferansiyel denklemlerinin sayısal c¸oz¨ um¨ u ic¸in yerel enerji koruyan bir algoritma, yerel momentum koruyan bir algo- ¨ ritma ve global enerji koruyan bir algoritma olmak uzere c¸es¸itli yeni sistematik al- ¨ goritmalar gelis¸tirilmis¸tir. Tum bu yapı koruyan algoritmalar ¨ ozg ¨ und ¨ ur ve literat ¨ urde ¨ daha once hic¸ c¸alıs¸ılmamıs¸tır. ¨ Yerel yapı-koruyan algoritmalar, Bol¨ uml ¨ u Ortalama Vekt ¨ or Alanı (PAVF) y ¨ onteminin, ¨ mekansal ve zamansal ayrıklas¸tırma ic¸in ort ¨ uk orta nokta kuralıyla birles¸tirilmesiyle ¨ olus¸turulmus¸tur. Yerel yapı-koruma algoritmalarının, c¸oklu-simplektik bir kısmi diferansiyel denklemin ayrık yerel enerjisini ve ayrık yerel momentumunu tam olarak korudugu kanıtlanmıs¸tır. Ayrıca, yerel yapı-koruyan algoritmaların periyodik sınır ˘ kos¸ulları altında ayrık global enerji korunumu-na ve ayrık global momentum korunumuna sahip oldugu da kanıtlanmıs¸tır. ˘ Global enerji-koruyan algoritma, genel c¸oklu-simplektik Hamilton kısmi diferansiyel denklemlerinin uzaysal ve zamansal turevlerinin sırasıyla antisimetrik bir diferansiyel ¨ matris ve PAVF yontemi ile ayrıklas¸tırılmasıyla gelis¸tirilmis¸tir. Ayrıklas¸tırmanın, ¨ c¸oklu-simplektik Hamilton kısmi diferansiyel denklemlerinin ayrık global enerjisini tam olarak korudugu kanıtlanmıs¸tır. ˘ Tum bu yeni algoritmalar, do ¨ grusal olmayan Dirac denklemine ve do ˘ grusal olmayan ˘ kompleks modifiye Korteweg-de Vries denklemine bas¸arıyla uygulanmıs¸tır. Onerilen ¨ sayısal yontemlerin korunum ¨ ozelliklerini g ¨ ostermek ic¸in birc¸ok sayısal deney sunulm- ¨ us¸tur. C¸ oklu-simplektik formulasyona dayalı yeni yerel yapı-koruyan algoritmalar ek olarak, Schrodinger-Boussinesq denkleminin sonlu boyutlu Hamilton form ¨ ulasyonuna dayalı ¨ sayısal c¸oz¨ um¨ u ic¸in bazı yeni yapı-koruyan s¸ema-lar da ¨ onerilmis¸tir. Sayısal sonuc¸lar, bu yeni yontemlerin Schr ¨ odinger-Boussinesq denkleminin dikkat c¸ekici ¨ ozel-liklerini ¨ yakaladıgını g ˘ ostermis¸tir. ¨ C¸ oklu simplektik formulasyona dayalı yeni yerel yapı-koruyan algoritmalar ek olarak, ¨ sonlu boyutlu Hamilton formulasyonuna dayalı tek boyutlu ve iki boyutlu Schr ¨ odinger- ¨ Boussinesq denkleminin sayısal c¸oz¨ um¨ u ic¸in bazı yeni yapı koruma s¸ema-ları da ¨ onerilmis¸tir. Sayısal sonuc¸lar, bu yeni y ¨ ontemlerin Schr ¨ odinger-Boussinesq denklem- ¨ inin enerji ve kutle korunumu gibi bazı ¨ ozelliklerini yakaladı ¨ gını g ˘ ostermis¸tir. ¨ Anahtar Kelimeler: C¸ oklu-Simplektik Kısmi Turevli Diferansiyel Denklemler, Lokal ¨ Yapı-Koruyan yontemler, Hamilton sistem, ¨ ˙Ikili Schrodinger-Boussinesq Denklemi, ¨ Modifiye Kompleks Korteweg-de Vries Denklemi, Dogrusal Olmayan Dirac Den- ˘ klemiIn this thesis, several novel systematic algorithms for numerical solution of general multi-symplectic Hamiltonian PDEs are developed including a local energy-preserving algorithm, a local momentum-preserving algorithm and a global energy-preserving algorithm. All these structure-preserving algorithms are original and never studied in the literature before. Local structure-preserving algorithms are constructed by using the combination of the Partitioned Average Vector Field (PAVF) method with implicit midpoint rule for spatial and temporal discretization. It is proven that local-structure preserving algorithms preserve the discrete local-energy and discrete local-momentum of a multi-symplectic PDE exactly. It is also proven that the local structure-preserving algorithms possesses the discrete global energy conservation and discrete global-momentum conservation under the periodic boundary conditions. A class of global energy-preserving algorithm is developed by discretizing the spatial and temporal derivatives of a general multi-symplectic Hamiltonian PDEs by an antisymmetric differentiation matrix and the PAVF method, respectively. It is proven that the discretization preserves the discrete global-energy of a multi-symplectic Hamiltonian PDEs exactly. All these new novel algorithms are applied successfully to the nonlinear Dirac equation and the nonlinear complex modified Korteweg-de Vries equation. Many numerical experiments are presented to demonstrate the conservative properties of the proposed numerical methods. In addition to new local structure-preserving algorithms based on the multi-symplectic formulation, some new structure-preserving schemes are also proposed for the numerical solution of the one-dimensional and two-dimensional Schrodinger-Boussinesq ¨ equation based on finite dimensional Hamiltonian formulation. Numerical results showed that this new methods capture some features of the Schrodinger-Boussinesq ¨ equation such as energy and mass conservation. Keywords: Multi-Symplectic PDEs, Local Structure-Preserving Methods, Hamiltonian system, Coupled Schrodinger-Boussinesq Equation , Complex Modified Ko- ¨ rteweg de Vries Equation, Nonlinear Dirac Equation