Poısson Denkleminin Sonlu Elemanlar Çözümü

Abstract

Bu tez çalışmasında Sonlu elemanlar yöntemi (FEM) iki boyutlu (2D) poisson denklemini çözmek için uygulanmıştır.([8]). Algoritmamızı oluşturmak için şekil fonksiyonu kullandık. Bu çalışmada kullandığımız şekil fonksiyonları, doğrusal ve ikinci dereceden interpolasyon fonksiyonları olarak seçilmiştir([2],[9]). Doğrusal şekil fonksiyonunu 3 düğümlü üçgen, ve 4 düğümlü dikdörtgen elemanlara uygularken, ikinci dereceden fonksiyon 6 düğümlü üçgen ve dikdörtgen elemanlara uygulanmıştır. Daha sonra incelenen problemin yaklaşık çözümünü hesaplamak için sonlu elemanlar metodunu uyguladık. Çözümün doğruluğunu göstermek için lineer ve kuadratik şekil fonksiyonları kullanılarak sayısal sonuçlar elde edilmiştir. Çözümün verimliliği, Sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak bulunan sonuçların, tam çözümle karşılaştırılarak gözlemlenmiştir.

The finite element method (FEM) has been implemented in this thesis to solve the two dimensional (2D) Poisson equation (see [8]). We used the shape function procedure to construct our algorithm. The shape function considered in this study employs two types of interpolation functions, which are linear and quadratic shape functions (see [2] and [9]). We made use of linear shape function on 3-node triangular elements and 4-node rectangular elements, while the quadratic shape function has been used on 6-node triangular and rectangular elements. Then we applied the finite element method to compute the an approximate solution of the problem under consideration. Numerical experiments were performed for both linear and quadratic shape functions to show the accuracy of the solution. The efficiency of the method has been observed by comparing the numerical results obtained by using finite element method with the exact solution.