Durağan yinelemeli yöntemler için yeni ön koşullayıcılar

Abstract

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için kullanılan yinelemeli yöntemlerin ya\-kınsaklığı doğrusal sistem matrisinin spektrumunun özelliklerine bağlıdır. Bu nedenle, yakınsaklığı hızlandırmak için, verilen doğrusal sistem, ön koşullayıcılar olarak bilinen doğrusal dönüşümlerle eşdeğer bir sisteme dönüştürülür. Bu tezde, sütuna göre kesin köşegensel baskın (SKKB) $L-$matrisli ve SKKB pozitif matrisli doğrusal denklem sistemlerinin Jacobi ve Gauss-Seidel (GS) yöntemleriyle çözümü için iki yeni ön koşullayıcı tanımlanmaktadır. Yeni ön koşullayıcılar sistem matrisinin tek bir satırına, sınırlı sayıdaki satırlarına, ki kısmi ön koşullama olarak adlandırılır, veya bütün satırlarına, ki tam ön koşullama olarak adlandırılır, uygulanabilir. İlk olarak, SKKB $L-$matrisler ve SKKB pozitif matrisler için ön koşullanmış matrislerin özellikleri belirlenmektedir. Daha sonra ön koşullandırılmış sistemler için Jacobi ve GS yöntemlerinin yakınsaklık analizleri yapılmaktadır. SKKB $L-$matrisli sistemler için, ön koşullandırılmış sistemlerin Jacobi ve GS yinele\-me matrislerinin spektral yarıçaplarının ön koşullandırılmamış sistemlere karşılık gelenlerden daha küçük olduğu gösterilmektedir. SKKB pozitif matrisli sistemler için, ön koşullandırılmış sistemlerin Jacobi yineleme matrislerinin spektral yarıçapları\-nın ön koşullandırılmamış sistemlere karşılık gelenlerden daha küçük olduğunu ispatlamamıza karşın, GS yineleme matrisleri için böyle bir sonuç mevcut değildir. Sayısal sonuçlar, yeni ön koşullayıcıların, SKKB $L-$matrisli sistemler için spektral yarıçap ve yineleme sayısı bakımından literatürde mevcut olanlarla tümüyle yarışabilir durumda olduğunu gös\-termektedir. Buna karşılık, SKKB pozitif matrisli sistemlere ilişkin sayısal sonuçlar, yeni ön koşullayıcıların diğer bazı önkoşullayıcılar\-la yarışabilir nitelikte olmasına karşın, mevcut ön koşullayıcıların çoğuna karşı tercih edilebilir olmadığını ifade etmektedir. Son olarak, yeni ön koşullayıcıların sütuna göre köşegensel baskın (SKB) $L-$matrisler ve SKB-olmayan $L-$matrisler ve hatta, SKKB-olmayan pozitif matrisler için etkinlikleri, daha fazla araştırmayı haketmektedir.

The convergence of an iterative method used for the solution of systems of linear equation depends on the properties of the spectrum of the matrix of the linear system. So, to speed up the convergence, the given linear system is transformed into an equivalent one by linear transformations, known as preconditioners. In this thesis, we introduce two new preconditioners for Jacobi and Gauss-Seidel (GS) iterative methods for the solution of linear systems with strictly columnwise diagonally dominant (SCDD) $L-$ matrices and SCDD positive matrices. The new preconditioners can be applied on a single row, on a limited number of rows, called partial preconditioning, or on all rows, called complete preconditioning, of the system matrix. First of all, the properties of the preconditioned matrices are determined for systems with SCDD $L-$ matrices and SCDD positive matrices. Then convergence analysis of the Jacobi and GS iterative methods are performed for the preconditioned systems. For systems with SCDD $L-$ matrices, it is shown that the spectral radii of Jacobi and GS iteration matrices for preconditioned systems are smaller than the ones associated with unpreconditioned systems. Although, for systems with SCDD positive matrices, we prove that the spectral radii of Jacobi iteration matrices for preconditioned systems are smaller than the ones associated with unpreconditioned systems, no such result is available for GS iteration matrices. Numerical results show that for systems with SCDD $L-$matrices, the new preconditioners are quite competitive with the ones existing in the literature in the sense of spectral radii and the number of iterations. Nevertheless, for systems with SCDD positive matrices, numerical results demonstrate that although new preconditioners are still competitive with some other preconditioners, usually they are not preferable on many of the already existing ones. Finally, the performances of new preconditioners for CDD $L-$matrices and non-CDD $L-$matrices and even for non-SCDD positive matrices deserve further research.