Rosenau-Korteweg-de Vries regularized long wave denklemi için doğrusal kapalı yöntemler

Abstract

Bu tez çalışmasında, genel Rosenau--Korteweg de Vries (Rosenau--KdV) ile Rosenau-- Regülerize Uzun Dalga (Rosenau--Regularized Long Wave)(rosenau-RLW) denklemlerini birleştiren Rosanau-Korteweg de--Veries Regülerize Uzun Dalga (Rosenau--KdV--RLW) denkleminin sayısal çözümü ele alınmıştır. Denklemin kütle ve enerji olarak adlandırılan iki tane korunum özelliği ispatlanmıştır. Amaç bu özellikleri tam olarak koruyan yada küçük bir hata ile koruyan sayısal yöntemler geliştirmektir. Rosenau--KdV--RLW denkleminin başlangıç--sınır değer problemi için iki tane sayısal yöntem önerilmiştir. Yöntemlerden bir tanesi korunum özelliği olan bir yöntem olup diğer yöntem korunum özelliği olmayan bir yöntemdir. Korunum özelliği olan yöntemin denklemin enerjisini koruduğu ispatlanmıştır. Ayrıca yöntem ikinci mertebeden doğruluğa sahip ve koşulsuz kararlıdır. İkinci yöntem korunum özelliği olmayan bir yöntemdir. Bu yöntem birinci mertebeden doğruluğa sahip olup koşullu kararlıdır. Sayısal sonuçlar, her iki yöntemin de uzun zaman aralığında denklemin soliter dalgasını iyi simule ettiğini göstermiştir. Ayrıca, sayısal sonuçlar korunum özelliği olan yöntemin, denklemin enerjisini koruduğunu da doğrulamıştır.

In this thesis, we consider the numerical solution of the Rosenau-- Korteweg de Vries-- Reularized Long Wave (Rosenau KdV--RLW) equation which couples the general Rosenau--KdV and Rosenau--RLW equations. Two conserved quantities of the Rosenau KdV--RLW equation has been proven, namely the mass and the energy. The aim is to develop numerical methods to preserve these conserved quantities exactly or preserve with a small error. Two linearly implicit schemes for the initial--boundary value problem of the Rosenau KdV--RLW equation are proposed. One method is conservative and the other method is nonconservative. It is proved that the conservative method preserves the energy of the equation exactly. It is also shown that the scheme is second order accurate and unconditionally stable. The second scheme is nonconservative. It is first order accurate and conditionally stable. Numerical results shown that both scheme well simulates the solitary wave of the equation in long time. Moreover, numerical results verify the exact energy conservation of the conservative scheme.