Üçlü Lineer Olmayan Schrödinger Denklemi için Yapı Koruyan Sayısal Yöntemler

Abstract

Birleşik N denklemli lineer olmayan Schrödinger (N--CNLS) denklemi fizik, optik, kuantum mekaniği ve akışkanlar dinamiği gibi birçok alanda sıklıkla kullanılan önemli matematiksel modellerden biridir. Son yıllarda lineer olmayan Schrödinger (NLS) denklemi ve ikili lineer olmayan Schrödinger (2-CNLS) denklemi için yapılmış çok sayıda çalışma varken, üçlü lineer olmayan Schrödinger (3-CNLS) denklem sistemi için yapılan sayısal çalışma sayısı oldukça azdır. Bu denklem sistemlerinin kütle korunumu ve enerji korunumu gibi bazı fiziksel (ya da geometrik) korunum özellikleri vardir. Standard sayısal yöntemler bu tür korunumları korumamakta ve korunum sayısal çözümde bozulmaktadır. Son yıllarda bu tip özellikleri koruyan sayısal yöntemler geliştirme çalışmalarına ilgi araştırmacılar arasında hızla artmaktadır. Bu tezin amacı, üçlü lineer olmayan Schrödinger (3-CNLS) denkleminin bir veya birden fazla fiziksel (ya da geometrik) özelliğini koruyan sayısal yöntemler geliştirmektir. 3-CNLS denkleminin enerji ve kütle olmak üzere iki korunum özelliği elde edilmiştir. Daha sonra, periyodik ve homojen sınır şartları gibi uygun sınır şartları altında, bu korunumların ayrık hallerini koruyan üç tane sayısal yöntem geliştirilmiştir. İlk olarak, Ortalama Vektör Alanı (AVF) olarak bilinen bir yöntem kullanılarak, enerji koruyan sayısal yöntem tasarlanmıştır. Daha sonra denklemin kütlesini koruyan iki adımlı (ya da üç basamaklı) bir sayısal yöntem tasarlanmıştır. Son olarak, denklemin hem kütle hem de enerjisini koruyan bir adımlı (ya da iki basamaklı) sayısal yöntem tasarlanmıştır. Tasarlanan sayısal yöntemlerin doğrusal kararlılık, doğruluk ve yakınsaklık analizleri yapılmıştır. Enerji ve kütle koruyan sayısal yöntemlerin dağılım özellikleri incelenmiştir. Sayısal yöntemlerin etkinliğini ve yapı koruma özelliklerini doğrulamak için bir çok sayısal uygulamalar yapılmıştır. Sayısal sonuçlar uzun zaman aralığında her üç sayısal yöntemin de denklemin periyodik, bir soliton ve çarpışan soliton çözümlerinin de çok iyi sonuçlar verdiğini göstermektedir.

The N-coupled nonlinear Schrödinger (N--CNLS) equation is one of the highly used mathematical models in many scientific areas including physics, optics, quantum mechanics and fluid dynamics. In recent years, although there are many numerical studies on the nonlinear Schrödinger (NLS) equation and coupled NLS (2-CNLS) equation, numerical studies on three coupled NLS (3--CNLS) equation are rare. This system of equations has some physical (or geometric) properties such as mass (or charge) and energy conservations. Standard numerical schemes do not preserve these properties and usually these properties are destroyed in the numerical solution. Recently, constructing conservation methods that preserves this type of physical properties has an increasing interest among the researchers. The purpose of this thesis is to develop some conservative methods that preserve one or more physical properties of the 3--CNLS equation. Two conserved quantities, namely energy and mass conservations of 3--CNLS equation are obtained. Then, three numerical schemes are constructed that preserve the discrete versions of these conserved quantities under some suitable boundary conditions such as periodic or homogenous boundary conditions. First, an energy preserving algorithm is proposed by using a method known as Average Vector Field (AVF) method. Then, a two--step (or three level) scheme is proposed that preserves the mass of the equation. Finally, a one--step scheme (or two level scheme) is proposed for the numerical solution of the equation that preserves both the energy and the mass of the equation. Linear stability, accuracy and convergence of these methods are discussed. Dispersion relations of the energy preserving scheme and the mass conserving schemes are analyzed. Many numerical experiments are performed to verify the efficiency and invariant conservation property of the schemes. Numerical results show that the new methods constructed here have excellent performance in simulating the periodic, single and colliding soliton solutions of the equation in long time.