B-metrik Uzaylarında Sabit Nokta Teoremleri

Abstract

Bu tezde b-metrik uzayında tanımlı çeşitli büzülme dönüşümlerinin sabit noktaları ile ilgili bazı yeni sonuçlar biraraya getirilmiştir. b-metrik uzayları, metrik uzayların bir genellemesidir ve bu uzaylarda üçgen esşitsizliği, s ≥ 1 bir sabit olmak üzere, d(x,y) ≤ s[d(x,z) + d(z,y)], şeklinde modifiye edilmektedir. Dolayısıyla, metrik uzaylarda var olan tüm sonuçlar, b- metrik uzaylardaki sonuçlardan elde edilebilir. Son yıllarda literatürde b-metrik uzayları ile ilgili çok sayıda çalışma yayınlandı. Bizim amacımız bu çalışmalardan bazılarını tek bir belge olarak toplamak ve derlemektir. Ozel olarak, yardımcı fonksiyonlar aracılığı ile tanımlanan büzülme dönüşümleri için sabit noktaların varlığı ve tekliği ile ilgili teoremler verilmektedir. Birinci bölümde metrik uzayların bazı genellemeleri verilmekte ve Banach büzülme prensibinin bu uzaylardaki versiyonu ifade edilmektedir. Ayrıca bu uzaylara ait örnekler verilmektedir. ˙İkinci bölümde, b-metrik uzaylarında karşılaştırma fonksiyonları aracılığı ile tanımlanan büzülme dönüşümlerinin sabit nokta teoremleri verilmektedir. Bölüm 3'de ise, b-metrik uzaylarında Geraghty tipi büzülme dönüşümleri ele alınmaktadır . Bölüm2 ve Bölüm3'de incelenen büzülme dönüşümleri α-kabullü olarak tanımlanmaktadır. Aslında bu sonuçlar, literatürde var olan teoremleri α-kabullü olacak şekilde düzenlenerek ifade edilmektedir. Bu şekilde, kısmi sıralı uzaylardaki ve standart metrik uzay- lardaki dönüşümlerin ve döngüsel dönüşümlerin, α-kabullü dönüşümlerin sonuçları olarak ifade edilmesi mümkün olur. Dördüncü bölümde kısmi sıralama bağıntısı tanımlanmıs ¸ b-metrik uzaylar için Bölüm 2 ve Bölüm 3'deki teoremler sonuç olarak verilmektedir. α fonksiyonunun özel bir seçimi ile tüm teoremlerin kısmi sıralanmıs ¸ uzaylarda da geçerli olduğu vurgulanmaktadır.In this thesis, we collect some recent results on fixed points of various contractions defined on b-metric spaces. The concept of b-metric space is an extension of metric spaces on which triangle inequality is modified as d(x,y) ≤ s[d(x,z) + d(z,y)], where s is a constant greater than or equal to 1. Therefore, all existing results on metric spaces are regarded as consequences of the results on b-metric spaces. In the recent years, many publications on b-metric spaces appeared in the literature. Our aim is to collect and combine some of these papers in a single document. In particular, we give existence and uniqueness theorems for fixed points of contraction mappings defined via auxiliary functions. In Chapter 1 we give some generalizations of metric spaces and state the character- ization of the famous Banach contraction mapping principle on these spaces. We also present illustrative examples. In Chapter 2 we present fixed point theorems for contraction mappings defined via comparison functions on b-metric spaces. Chapter 3 contains recent results on fixed points of Geraghty type contractions on b-metric spaces. In both Chapter 2 and Chapter 3, α-admissible mappings are considered. In fact, results presented there are modified using α-admissibility. This makes it possi- ble to express the results on partially ordered metric spaces, standard metric spaces and cyclic mappings as conclusions of these results. As consequences of the results in Chapter 2 and Chapter 3, we discuss fixed point theorems on partially ordered b- metric spaces in Chapter 4. We point out that by a special choice of the function α, the theorems on α-admissible mappings can be stated in partially ordered b-metric spaces.