Yönlendirilemeyen Yüzeylerin Gönderim Sınıf Gruplarının Cebirsel Yapısı

Abstract

Mapping class groups of surfaces play a central role in the theory of low dimensional topology. Any information about algebraic structure of these groups might be useful in the solution of some topological problem of low dimensional manifolds. That is one reason why understanding algebraic sturucture of mapping class groups is so important. Consider a nonorientable connected genus g surface with k marked points. The main task of this project was to obtain information on the algebraic structure of the mapping class gorups of these surfaces. Through the project we have obtained results about automorphism groups of curve complexes of nonorientable surfaces and we gave some immediate applications of these results. In particular, we have shown that any isomorphism between two finite index subgroups of the mapping class group is given by the restriction of an inner automorphism of the mapping class group. Moreover, we have shown that the outer automorphism group of a nonorientable punctured surface of genus at least five is tirivial. Finally, we have observed that the Torelli subgroup of a nonorientable surface contains the generators analogous to those of orientable surfaces.

Yüzeylerin gönderim sınıf grupları düşük boyutlu topolojide merkezi bir rol oynar. Bu grubun cebirsel yapısı üzerine her bilgi düşük boyutlu topolojideki problemlerin çözümüne ilişkin bilgiler içerebilir. Bu açıdan bakıldığında bu grubun cebirsel yapısını anlamak önemlidir. Bağlantılı, cinsi (genus) g ve işaretlenmiş nokta sayısı k olan yönlendirilemeyen bir yüzey ele alalım. Bu projedeki ana konu bu yüzeylerin gönderim sınıf gruplarının cebirsel yapısı üzerine yapılan araştırmalardır. Bu konularla ilgili olarak elde edilen sonuçlar arasında yönlendirilemeyen yüzeylerin eğri komplekslerinin otomorfizmalarının cebirsel uygulamaları üzerine olmuştur. Özellikle, yönlendirilemeyen bir yüzeyin gönderim sınıf grubunda sonlu indeksli iki alt grup arasındaki herhangi bir izomorfizmanın bir gönderim sınıfının eşleniği ile verilmesi kanıtlanmıştır. Ayrıca, bağlantılı, cinsi (genus) g > 4 ve işaretlenmiş nokta sayısı k olan yönlendirilemeyen bir yüzeyin gönderim sınıf grubunun dış otomorfizma grubunun aşikar (trivial) olduğu ispat edilmiştir. Son olarak bu projede yönlendirilemeyen bir yüzeyin gönderim sınıf grubundaki Torelli alt grubunun yönlendirilebilen yüzeylerin Torelli grubunun üreteçlerini içerdiği gözlemlenmiştir.