Doygun tedavi ve enfeksiyon gecikmesi içeren bir sırs modelinin dinamikleri

Abstract

Bu tezde, bulaşma teriminde gizli bir zaman gecikmesi ve doygun bir tedavi fonksiyonu içeren bir SIRS (Duyarlı–Enfekte–İyileşmiş–Duyarlı) salgın modelinin dinamikleri incelenmektedir. Model, tedavi kapasitesinin kısıtlı olduğu ve enfeksiyon ile enfekte olma arasında bir zaman farkının bulunduğu bulaşıcı hastalıkların daha gerçekçi bir şekilde temsil edilmesini amaçlamaktadır. İlk olarak, modelin tüm çözümlerin pozitif ve sınırlı olduğu gösterilmektedir. Bu, modelin epidemiyolojik açıdan iyi tanımlandığını göstermektedir. Daha sonra hastalıkların nasıl yayıldığını anlamak için çok önemli bir eşik değeri olan temel üreme sayısı R0 hesaplanmaktadır. Hastalıksız denge noktasının kararlılığı incelenmiş ve R0 < 1 olduğunda yerel olarak asimptotik kararlı, R0 > 1 olduğunda ise kararsız olduğu gösterilmiştir. Tezin temel odağı, endemik denge noktalarının varlığı ve kararlılığını araştırmaktır. Modelin, ileri (transkritik) ve geri (backward) çatallanma olguları da dâhil olmak üzere doğrusal olmayan karmaşık davranışlar sergileyebildiği gösterilmektedir. Geri çatallanma önemli bir bulgudur. Çünkü bu durumda R0 < 1 olsa bile aynı anda kararlı bir endemik denge ve kararlı bir hastalıksız dengenin var olabileceği anlamına gelir. Doygun tedavi fonksiyonundan kaynaklanan bu olgu, R0 değerini 1'in altına düşürmenin hastalığın tamamen ortadan kaldırılması için yetersiz olabileceğini göstermektedir. Ayrıca, hastalığın kontrolü için alt eşik olacak kritik eşiği belirleyerek geri çatallanma aralığı elde edilmektedir. Son olarak, analitik sonuçları desteklemek amacıyla sayısal simülasyonlar sunulmaktadır. Bu simülasyonlar, ileri ve geri çatallanma gibi model davranışlarını açıkça göstermekte ve zaman gecikmesi ile doygun tedavinin hastalık dinamikleri üzerindeki ektilerinin kapsamlı bir şekilde anlaşılmasını sağlamaktadır.In this thesis, we examine the dynamics of an SIRS (Susceptible-Infected-Recovered-Susceptible) epidemic model that includes a latent time delay in the transmission term and a saturated treatment function. The model aims to offer a better representation of infectious diseases characterized by limited treatment capacity and a time gap between infection and being infected. To begin with, it is shown that all solutions of the model are positive and bounded, which ensures that the model is well-defined from an epidemiological point of view. Then, the basic reproduction number, R0 , is computed, which is a very important threshold for understanding how diseases spread. The stability of the disease-free equilibrium is analyzed, demonstrating that it is locally asymptotically stable when R0 < 1 and unstable when R0 > 1. The main focus of the thesis is to look into the existence and stability of endemic equilibria. It is shown that the model can exhibit complex nonlinear behavior, including the phenomena of forward (transcritical) and backward bifurcations. The backward bifurcation is an important discovery. It means that even when R0 < 1, there can be a stable endemic equilibrium and a stable disease-free equilibrium at the same time. This phenomenon, resulting from the saturated treatment, indicates that reducing R0 below one may not be sufficient to eradicate the disease. Also, the backward bifurcation range is derived by establishing the critical threshold that will be a sub-threshold for controlling the disease. Finally, numerical simulations are presented to illustrate the analytical results. These simulations demonstrate the model's behavior, such as forward and backward bifurcations. This provides a full understanding of how time delay and saturated treatment affect disease dynamics.