Cauchy Tipi Başlangıç Değer Problemlerinin Banach Uzaylarında Çözümü

Abstract

Beş bölümden oluşan bu tezde ilk bölüm giriş için ayrıldı. İkinci bölüm sırasıyla klasik anlamda ve Sobolev anlamında kompleks kısmi türevlere, genelleştirilmiş analitik fonksiyonlara ve iç kestirimlere ayrıldı. Ayrıca holomorf fonksiyonlar için bir iç kestirim supremum normunda elde edildi. Üçüncü bölümde önce Banach uzayları skalaları tanıtıldı. Sonra Cauchy tipinde baş-langıç değer problemlerinin çözümlerinin varlık ve tekliği için soyut Cauchy-Kova-levskaya teoremi eş uzaylar metodu yardımıyla kanıtlandı. Dördüncü bölümde Son ve Tutschke ST1 tarafından Cauchy-Riemann sistemini sağ-layan bilinmeyen iki tane reel-değerli fonksiyon için tanımlanan, birinci basamaktan iki lineer kısmi türevli denklemin oluşturduğu sisteme ilişkin başlangıç değer problemleri ele alındı. Bu problemler önce kompleks formda yazıldı. Daha sonra karşılık gelen problemin çözümü soyut Cauchy-Kovalevskaya teoremi yardımıyla holomorf fonksiyonlar uzayında elde edildi. Son bölümde N.Q. Hung H tarafından quaterniyon analizinde genelleştirilmiş regüler fonksiyonlar için tanımlanan birinci basamaktan bir evrim denklemine ilişkin başlangıç değer problemi incelendi. Hung bu probleme ilişkin diferansiyel operatörlerün eş olabilmesi için sadece yeter olan koşulları kanıtladı. Biz söz konusu operatörlerin eş olması için sadece yeter olan değil aynı zamanda gerek olan koşulları da kanıtladık AY. Bundan başka söz konusu makalede iç kestirim hesaplanırken yapılan hatayı da düzelttik.

This thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to the historical background and introductory concepts. Partial complex differentiations in the classical sense and in the sense of Sobolev, generalized analytic functions, associated differential operators, associated spaces and interior estimates are introduced in Chapter II. The interior estimate for holomorphic functions in the supremum-norm is also obtained. In Chapter III, first, the concept of scales of Banach spaces are presented. Then the proof of the abstract Cauchy-Kovalevskaya theorem for the existence and uniqueness of the solution of initial-value problems of Cauchy type by the method of associated spaces is presented. In Chapter IV, initial value problems defined by Son and Tutschke ST1, in the space of functions satisfying the Cauchy-Riemann system, for a system of linear first order partial differential equations for two unknown real-valued functions in the plane is considered. After rewriting the initial value problem in complex form, the solution of the corresponding problem is obtained by applying the abstract Cauchy-Kovalevskaya theorem in the space of holomorphic functions. In the last chapter, an initial value problem for a first order evolution equation defined by N. Q. Hung H in the space of generalized regular functions in Quaternionic Analysis is discussed. Hung has proven only sufficient conditions for the related differential operators to be associated. We have proven not only sufficient but also necessary conditions for the underlined differential operators to be associated AY. Further we correct a mistake made in the calculation of the interior estimate in that paper.